BZOJ 5244 「FJWC2018」最大真因数

显然一个合数的最大真因子等于它自身除以它的最小质因子。
这个很容易用欧拉筛来求，然鹅 l≤r≤5⋅109……

首先转化为前缀和相减，问题变成求所有不大于 n 的正整数的最大真因子。

欧拉筛不是很好优化，但是如果是埃筛，可以扩展到亚线性复杂度（即 Min_25 筛的前一部分）。
我们考虑用 Min_25 筛的做法来求不大于 n 的质数之和。
为什么不直接求呢？因为这个算法本来是用来筛积性函数在质数处的点值的。

观察这个算法递推式的推导过程，其实第 k 轮转移减去的数就是埃筛第 k 轮筛去的数之和。
然鹅我们发现，这些数刚好就是所有最小质因子为 pk 的数（其中 pk 表示第 k 个质数）。
于是在转移的时候另外统计一下答案，即直接把减去的数除以 pk 后加入答案。

（我觉得这道题是熟悉 Min_25 筛思想的好题）

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const long long N = 5e9;
const int MX = 71e3;
long long l,r;
int vis[MX + 5],cnt,prime[MX + 5];
long long Gprime[MX + 5];
namespace solver
{
    long long n;
    int lim;
    int tot,le[MX + 5],ge[MX + 5];
    long long lis[2 * MX + 5];
    inline int &id(long long x)
    {
        return x <= lim ? le[x] : ge[n / x];
    }
    long long G[2 * MX + 5],F[2 * MX + 5];
    long long calc(long long m)
    {
        if(!m)
            return 0;
        tot = 0,n = m,lim = sqrt(n);
        for(register long long l = 1,r;l <= n;l = r + 1)
        {
            r = n / (n / l);
            lis[id(n / l) = ++tot] = n / l;
            G[tot] = (n / l + 2) * (n / l - 1) / 2,F[tot] = 0;
        }
        for(register int k = 1;k <= cnt;++k)
        {
            int p = prime[k];
            long long s = (long long)prime[k] * prime[k];
            for(register int i = 1;lis[i] >= s && i <= tot;++i)
                F[i] += G[id(lis[i] / p)] - Gprime[k - 1],G[i] -= p * (G[id(lis[i] / p)] - Gprime[k - 1]);
        }
        return F[1];
    }
}
int main()
{
    for(register int i = 2;i <= MX;++i)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++cnt] = i,Gprime[cnt] = Gprime[cnt - 1] + i;
        for(register int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= MX;++j)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(!(i % prime[j]))
                break;
        }
    }
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld\n",solver::calc(r) - solver::calc(l - 1));
}