这题是「『SDOI2018』旧试题」的弱化版。
等我搞懂三元环计数做法再去做那题吧。
\[\newcommand\ffrac[2]{\genfrac\lfloor\rfloor{}{}{ #1 }{ #2 }} \begin{align*} & \sum\limits_{i=1}^A\sum\limits_{j=1}^B\sum\limits_{k=1}^C d(ijk) \\ = & \sum\limits_{i=1}^A\sum\limits_{j=1}^B\sum\limits_{k=1}^C\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{z|k} [\gcd(x,y)=1][\gcd(x,z)=1][\gcd(y,z)=1] \\ = & \sum\limits_{x=1}^A\sum\limits_{y=1}^B\sum\limits_{z=1}^C\ffrac Ax\ffrac By\ffrac Cz [\gcd(x,y)=1][\gcd(x,z)=1][\gcd(y,z)=1] \\ = & \sum\limits_{x=1}^A\sum\limits_{y=1}^B\sum\limits_{k=1}^C\ffrac Ax\ffrac By\ffrac Cz [\gcd(x,z)=1][\gcd(y,z)=1]\sum\limits_{d|\gcd(x,y)}\mu(d) \\ = & \sum\limits_{d=1}^{\min(A,B)}\mu(d)\sum\limits_{x=1}^{\ffrac Ad}\ffrac A{dx}\sum\limits_{y=1}^{\ffrac Bd} \ffrac B{dy}\sum\limits_{z=1}^C \ffrac Cz[\gcd(dx,z)=1][\gcd(dy,z)=1] \\ = & \sum\limits_{d=1}^{\min(A,B)}\mu(d)\sum\limits_{x=1}^{\ffrac Ad}\ffrac A{dx}\sum\limits_{y=1}^{\ffrac Bd} \ffrac B{dy}\sum\limits_{z=1}^C \ffrac Cz[\gcd(x,z)=1][\gcd(y,z)=1][\gcd(d,z)=1] \\ = & \sum\limits_{z=1}^C\ffrac Cz\sum\limits_{d=1}^{\min(A,B)}[\gcd(d,z)=1]\mu(d)\sum\limits_{x=1}^{\ffrac Ad}[\gcd(x,z)=1]\ffrac A{dx}\sum\limits_{y=1}^{\ffrac Bd}[\gcd(y,z)=1]\ffrac B{dy} \end{align*}\]
然后暴力算。
设 \(n = \max(A,B,C)\),复杂度是 \(O(n^2 \log n)\) 左右(反正三个都同阶随便把 \(n\) 换成一个都行)。
代码:
1 |
|