JZOJ 5261 求和

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神仙数论。
真难写……

随手推一下，原式变为 n∑x=1k∑d=1fd(x)(2⌊nx⌋∑i=1φ(i)−1)。
对 φ 杜教筛，然后考虑设 Fd(n)=n∑i=1fd(i)。

考虑容斥，可以强行钦定几个质因子的指数大于 d，然后删去贡献（f∞），然后再把重复算的贡献补回。
即 Fd(n)=n∑i=1fd(i)=n∑i=1μ(i)⌊nid+1⌋∑j=1f∞(id+1j)=n∑i=1fd+1∞(i)μ(i)F∞(⌊nid+1⌋)=⌊n1/(d+1)⌋∑i=1fd+1∞(i)μ(i)F∞(⌊nid+1⌋)

这是因为 f∞ 是完全积性函数。
于是如果能求得 F∞，Fd 就可以在 O(n2/3k2/3) 内求得，即预处理 + 暴力算（实际上由于空间问题达不到这个最优值）。

考虑杜教筛，注意到若 n=m∏i=1pcii，则 (f∞∗1)(n)=m∏i=1[2|ci]，即 n 为完全平方数。
于是就做完了。
（当然直接 Min_25 筛或者洲阁筛也不错）

但是有一点，即 Fd 的预处理。
实际上是可以直接把 k∑d=1fd(n) 的前缀和线性筛出来的。
具体的说，由于每个 fd 的贡献非 0 即 f∞，故只需要筛出每个数的质因子最大指数，然后算出有多少个 d 使得 fd 有贡献，乘上 f∞ 的值即可。

上文中有提到求 k∑d=1fd 的复杂度，注意到若预处理 (nk)2/3=n2/3k2/3 内的值，可以达到最优复杂度 O(n2/3k2/3)，但是由于空间问题无法达到。
所以就大概少预处理个 2×107 的样子吧（逃

代码（杜教筛）： 

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#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long N = 1e10;
const int MX = 2e7;
const int K = 40;
long long n;
int k;
int vis[MX + 5],cnt,prime[MX + 5];
int mn[MX + 5],mx[MX + 5],f[MX + 5],phi[MX + 5],mu[MX + 5],lambda[MX + 5];
int w[3][MX + 5];
inline int &mem_slambda(long long x)
{
    return w[0][n / x];
}
inline int &mem_sphi(long long x)
{
    return w[1][n / x];
}
inline int &mem_sf(long long x)
{
    return w[2][n / x];
}
int slambda(long long n)
{
    if(n <= MX)
        return lambda[n];
    if(~mem_slambda(n))
        return mem_slambda(n);
    int ret = sqrt(n);
    for(register long long l = 2,r;l <= n;l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l);
        ret -= (r - l + 1) * slambda(n / l);
    }
    return mem_slambda(n) = ret;
}
int sphi(long long n)
{
    if(n <= MX)
        return phi[n];
    if(~mem_sphi(n))
        return mem_sphi(n);
    int ret = (n & 1) ? (n + 1) / 2 * n : n / 2 * (n + 1);
    for(register long long l = 2,r;l <= n;l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l);
        ret -= (r - l + 1) * sphi(n / l);
    }
    return mem_sphi(n) = ret;
}
int sf(long long n)
{
    if(n <= MX)
        return f[n];
    if(~mem_sf(n))
        return mem_sf(n);
    int ret = 0;
    for(register int i = 1;(long long)i * i <= n;++i)
        if(mu[i])
        {
            long long j = (long long)i * i;
            int s = (lambda[i] - lambda[i - 1]) * (lambda[i] - lambda[i - 1]);
            for(register int d = 2;d <= k + 1 && j <= n;++d,j *= i,s *= (lambda[i] - lambda[i - 1]))
                ret += s * mu[i] * slambda(n / j);
        }
    return mem_sf(n) = ret;
}
int ans;
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    memset(w,-1,sizeof w),phi[1] = mu[1] = lambda[1] = 1,f[1] = k;
    for(register int i = 2;i <= MX;++i)
    {
        if(!vis[i])
            mn[prime[++cnt] = i] = mx[i] = 1,phi[i] = i - 1,lambda[i] = mu[i] = -1;
        for(register int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= MX;++j)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1,lambda[i * prime[j]] = -lambda[i];
            if(!(i % prime[j]))
            {
                mn[i * prime[j]] = mn[i] + 1,mx[i * prime[j]] = max(mx[i],mn[i] + 1),phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            mn[i * prime[j]] = 1,mx[i * prime[j]] = mx[i],phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1),mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
        f[i] = f[i - 1] + lambda[i] * (mx[i] <= k ? k - mx[i] + 1 : 0),phi[i] += phi[i - 1],lambda[i] += lambda[i - 1];
    }
    for(register long long l = 1,r;l <= n;l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l);
        ans += (sf(r) - sf(l - 1)) * (2 * sphi(n / l) - 1);
    }
    printf("%d\n",ans & (1 << 30) - 1);
}

代码（Min_25 筛）： 

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#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long N = 1e10;
const int MX = 2e7;
const int K = 40;
long long n;
int k;
int vis[MX + 5],cnt,prime[MX + 5];
int mn[MX + 5],mx[MX + 5],f[MX + 5],mu[MX + 5],lambda[MX + 5];
int w[MX + 5];
namespace Min_25
{
    const long long N = 1e10;
    const int MX = 1e5;
    long long n;
    int lim;
    int vis[MX + 5],prime[MX + 5],cnt,Gprime[MX + 5];
    int tot,le[MX + 5],ge[MX + 5];
    long long lis[2 * MX + 5];
    int G[2 * MX + 5][2],F[2 * MX + 5][2];
    inline int &id(long long x)
    {
        return x <= lim ? le[x] : ge[n / x];
    }
    void init(long long m)
    {
        lim = sqrt(n = m);
        for(register int i = 2;i <= lim;++i)
        {
            if(!vis[i])
                prime[++cnt] = i,Gprime[cnt] = Gprime[cnt - 1] + i;
            for(register int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= lim;++j)
            {
                vis[i * prime[j]] = 1;
                if(!(i % prime[j]))
                    break;
            }
        }
        for(register long long l = 1,r;l <= n;l = r + 1)
        {
            r = n / (n / l);
            lis[id(n / l) = ++tot] = n / l;
            G[tot][0] = n / l - 1,G[tot][1] = (n / l & 1) ? (n / l - 1) / 2 * (n / l + 2) : (n / l + 2) / 2 * (n / l - 1);
        }
        for(register int k = 1;k <= cnt;++k)
        {
            int p = prime[k];
            long long s = (long long)p * p;
            for(register int i = 1;lis[i] >= s;++i)
                G[i][0] -= G[id(lis[i] / p)][0] - (k - 1),
                G[i][1] -= (long long)p * (G[id(lis[i] / p)][1] - Gprime[k - 1]);
        }
        for(register int i = 1;i <= tot;++i)
            F[i][0] = -G[i][0],F[i][1] = G[i][1] - G[i][0];
        for(register int k = cnt;k;--k)
        {
            int p = prime[k];
            long long s = (long long)p * p;
            for(register int i = 1;lis[i] >= s;++i)
            {
                long long pw = p,pw2 = s,pw0 = 1;
                for(register int c = 1;pw2 <= lis[i];++c,pw0 = pw,pw = pw2,pw2 *= p)
                    F[i][0] += ((c & 1) ? -1 : 1) * (F[id(lis[i] / pw)][0] + k) + ((c & 1) ? 1 : -1),
                    F[i][1] += (pw - pw0) * (F[id(lis[i] / pw)][1] - (Gprime[k] - k)) + (pw2 - pw);
            }
        }
    }
    inline int slambda(long long n)
    {
        return n ? F[id(n)][0] + 1 : 0;
    }
    inline int sphi(long long n)
    {
        return n ? F[id(n)][1] + 1 : 0;
    }
}
inline long long fpow(long long a,int b)
{
    long long ret = 1;
    for(;b;b >>= 1)
        (b & 1) && (ret *= a),a *= a;
    return ret;
}
inline int &mem_sf(long long x)
{
    return w[n / x];
}
int sf(long long n)
{
    if(n <= MX)
        return f[n];
    if(~mem_sf(n))
        return mem_sf(n);
    int ret = 0;
    for(register int i = 1;(long long)i * i <= n;++i)
        if(mu[i])
        {
            long long j = (long long)i * i;
            int s = lambda[i] * lambda[i];
            for(register int d = 2;d <= k + 1 && j <= n;++d,j *= i,s *= lambda[i])
                ret += s * mu[i] * Min_25::slambda(n / j);
        }
    return mem_sf(n) = ret;
}
int ans;
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k),Min_25::init(n);
    memset(w,-1,sizeof w),mu[1] = lambda[1] = 1,f[1] = k;
    for(register int i = 2;i <= MX;++i)
    {
        if(!vis[i])
            mn[prime[++cnt] = i] = mx[i] = 1,lambda[i] = mu[i] = -1;
        for(register int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= MX;++j)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1,lambda[i * prime[j]] = -lambda[i];
            if(!(i % prime[j]))
            {
                mn[i * prime[j]] = mn[i] + 1,mx[i * prime[j]] = max(mx[i],mn[i] + 1);
                break;
            }
            mn[i * prime[j]] = 1,mx[i * prime[j]] = mx[i],mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
        f[i] = f[i - 1] + lambda[i] * (mx[i] <= k ? k - mx[i] + 1 : 0);
    }
    for(register long long l = 1,r;l <= n;l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l);
        ans += (sf(r) - sf(l - 1)) * (2 * Min_25::sphi(n / l) - 1);
    }
    printf("%d\n",ans & (1 << 30) - 1);
}

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