洛谷 6156 简单题

yysy，确实是个简单题，而且很套路（

首先显然 f=μ2。
那么 n∑i=1n∑j=1(i+j)kμ2(gcd(i,j))gcd(i,j)=n∑d=1μ2(d)dn∑i=1n∑j=1[gcd(i,j)=d](i+j)k=n∑d=1μ2(d)dk+1⌊nd⌋∑i=1⌊nd⌋∑j=1[gcd(i,j)=1](i+j)k=n∑d=1μ2(d)dk+1⌊nd⌋∑i=1⌊nd⌋∑j=1(i+j)k∑u|gcd(i,j)μ(u)=n∑d=1μ2(d)dk+1⌊nd⌋∑u=1μ(u)uk⌊ndu⌋∑i=1⌊ndu⌋∑j=1(i+j)k

注意到可以数论分块套数论分块，则这一部分的复杂度为 O(n3/4)。
则我们需要求得 μ2(i)ik+1,μ(i)ik 的前缀和，并对于所有 n′ 求出 n′∑i=1n′∑j=1(i+j)k。
前两个线性筛出所有的 μ(i),ik 即可计算，最后一个考虑观察其关于 n′ 差分后的结果： n+1∑i=1n+1∑j=1(i+j)k−n∑i=1n∑j=1(i+j)k=n∑i=1n+1∑j=1(i+j)k+n+1∑j=1(n+1+j)k−n∑i=1n∑j=1(i+j)k=n∑i=1(n+1∑j=1(i+j)k−n∑j=1(i+j)k)+n+1∑j=1(n+1+j)k=n∑i=1(i+n+1)k+n+1∑j=1(n+1+j)k

于是这个也可以 O(n) 递推求得。
总时间复杂度 O(n)。

代码：

#include <cstdio>
#define add(x,y) (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y)
#define dec(x,y) (x < y ? x - y + mod : x - y)
using namespace std;
const int N = 1e7;
const int mod = 998244353;
inline int fpow(int a,int b)
{
    int ret = 1;
    for(;b;b >>= 1)
        (b & 1) && (ret = (long long)ret * a % mod),a = (long long)a * a % mod;
    return ret;
}
int n,k;
int vis[N + 5],cnt,prime[N + 5],mu[N + 5],pw[N + 5];
int sum[3][N + 5],ans;
int main()
{
    long long x;
    scanf("%d%lld",&n,&x),k = x % (mod - 1),n <<= 1,mu[1] = pw[1] = 1;
    for(register int i = 2;i <= n;++i)
    {
        if(!vis[i])
            mu[prime[++cnt] = i] = mod - 1,pw[i] = fpow(i,k);
        for(register int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1,pw[i * prime[j]] = (long long)pw[i] * pw[prime[j]] % mod;
            if(!(i % prime[j]))
                break;
            mu[i * prime[j]] = dec(0,mu[i]);
        }
    }
    n >>= 1;
    for(register int i = 1;i <= n;++i)
        sum[0][i] = (sum[0][i - 1] + (long long)mu[i] * mu[i] % mod * pw[i] % mod * i % mod) % mod,
        sum[1][i] = (sum[1][i - 1] + (long long)mu[i] * pw[i] % mod) % mod;
    n <<= 1;
    for(register int i = 1;i <= n;++i)
        pw[i] = (pw[i - 1] + pw[i]) % mod;
    n >>= 1;
    for(register int i = 1;i <= n;++i)
        sum[2][i] = add(sum[2][i - 1],dec(pw[i << 1],pw[i])),
        sum[2][i] = add(sum[2][i],dec(pw[(i << 1) - 1],pw[i]));
    for(register int L = 1,R,s;L <= n;L = R + 1)
    {
        R = n / (n / L),s = 0;
        for(register int l = 1,r,m = n / L;l <= m;l = r + 1)
        {
            r = m / (m / l);
            s = (s + (long long)(sum[1][r] - sum[1][l - 1] + mod) * sum[2][m / l] % mod) % mod;
        }
        ans = (ans + (long long)(sum[0][R] - sum[0][L - 1] + mod) * s % mod) % mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}