LibreOJ 2527 「HAOI2018」染色

我当然知道 CSP-S 前沉迷数数是不对的，但是就是停不下来啊……

一道比较套路的容斥题。
首先显然有 K≤min(⌊NS⌋,M)。
令 k=min(⌊NS⌋,M)。

设 fi 表示至少 i 个颜色出现次数恰好为 S 的方案数。
则从 M 种颜色中选择 i 种颜色，再从 N 个位置中选择 iS 个位置，再考虑这 iS 个位置之间的颜色次序即多重集排列数，然后剩下 N−iS 个位置随便给一个这 m 个之外的颜色。
有 fi=(Mi)(NiS)(iS)!(S!)i(m−i)N−iS

再设 Fi 表示恰好有 i 个颜色出现次数恰好为 S 的方案数。
根据容斥原理易得 Fi=k∑j=i(−1)j−i(ji)Fj=k∑j=i(−1)j−ij!i!(j−i)!Fji!⋅Fi=k∑j=ij!⋅fj⋅(−1)j−i(j−i)!

看起来有点卷积的味道了，但是还不能直接做。
令 Ai=i!⋅fi,Bi=(−1)ii!。
又 k∑j=iAj⋅Bj−i=k−i∑j=0Ai+j⋅Bj。
注意到若令 A′i=Ak−i，则原式化为 k−i∑j=0A′k−i−j⋅Bj。
熟悉的卷积，NTT 之后求 xk−i 的系数即可。
答案即 k∑i=0Wi⋅Fi。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1 << 18;
const int M = 1e7;
const int mod = 1004535809;
const int G = 3;
const int Gi = 334845270;
int n,m,s,k,w[N + 5];
inline int fpow(int a,int b)
{
    int ret = 1;
    for(;b;b >>= 1)
        (b & 1) && (ret = (long long)ret * a % mod),a = (long long)a * a % mod;
    return ret;
}
int f[N + 5],g[N + 5],omg[N + 5],inv[N + 5];
int fac[M + 5],ifac[M + 5],ans;
inline int C(int n,int m)
{
    return (long long)fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}
void ntt(int *a,int *omg,int n,int lg)
{
    for(register int i = 0;i < n;++i)
    {
        int t = 0;
        for(register int j = 0;j < lg;++j)
            if(i & (1 << j))
                t |= (1 << lg - j - 1);
        if(i < t)
            swap(a[i],a[t]);
    }
    for(register int w = 2,m = 1;w <= n;w <<= 1,m <<= 1)
        for(register int i = 0;i < n;i += w)
            for(register int j = 0;j < m;++j)
            {
                int t = (long long)omg[n / w * j] * a[i + j + m] % mod;
                a[i + j + m] = (a[i + j] - t + mod) % mod,a[i + j] = (a[i + j] + t) % mod;
            }
}
void mul(int *a,int *b,int len)
{
    int lg = 0,n = 1;
    for(;n < len * 2;n <<= 1,++lg);
    for(register int i = 0;i < n;++i)
        omg[i] = fpow(G,(mod - 1) / n * i),inv[i] = fpow(Gi,(mod - 1) / n * i);
    ntt(a,omg,n,lg),ntt(b,omg,n,lg);
    for(register int i = 0;i < n;++i)
        a[i] = (long long)a[i] * b[i] % mod;
    ntt(a,inv,n,lg);
    int n_inv = fpow(n,mod - 2);
    for(register int i = 0;i < n;++i)
        a[i] = (long long)a[i] * n_inv % mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s),k = min(n / s,m),fac[0] = 1;
    for(register int i = 0;i <= m;++i)
        scanf("%d",w + i);
    for(register int i = 1;i <= max(n,m);++i)
        fac[i] = (long long)fac[i - 1] * i % mod;
    ifac[max(n,m)] = fpow(fac[max(n,m)],mod - 2);
    for(register int i = max(n,m);i;--i)
        ifac[i - 1] = (long long)ifac[i] * i % mod;
    for(register int i = 0;i <= k;++i)
        f[i] = (long long)((i & 1) ? mod - 1 : 1) * ifac[i] % mod,g[i] = (long long)C(m,i) * C(n,i * s) % mod * fac[i * s] % mod * fpow(ifac[s],i) % mod * fpow(m - i,n - i * s) % mod * fac[i] % mod;
    reverse(g,g + k + 1),mul(f,g,k + 1),reverse(f,f + k + 1);
    for(register int i = 0;i <= k;++i)
        ans = (ans + (long long)f[i] * ifac[i] % mod * w[i] % mod) % mod;
    printf("%d\n",ans);
}