类似中国象棋,对于一个这样的二分图我们往往考察其每个连通块的构造。
分别用 x,y 计量左右部点的个数,两维均是 EGF。
一个连通块有三种情况:环、链、点,接下来我们分别来考虑它们。
对于环,它显然是偶环,那么左右部点的个数是一样的,并且正反各会被统计一次。而一边是排列,另一边是环排列,因此就是 12(−ln(1−xy)−xy)
对于链,右部点一定比左部点多一个,并且正反各会被统计一次。且两边都是排列,因此 12xy21−xy
对于点,必然是一个右部点,因此 y
现在将它们组合,那么答案就是 \begin{aligned} n!m! [x^n y^m] F(x,y) &= n!m! [x^n y^m] \exp\left(\frac 12\left(-\ln(1-xy)-xy\right)+\frac 12 \frac{xy^2}{1-xy}+y\right) \\ &= n!m! [s^n t^{m-n}] \exp\left(\frac 12\left(-\ln(1-s)-s\right)+\frac 12 \frac{st}{1-s}+t\right) \\ &= n!m! [s^n t^{m-n}] \exp\left(\frac 12\left(-\ln(1-s)-s\right)\right) {\rm e}^t \sum\limits_{k\ge 0} \frac 1{k!} \left(\frac 12 \frac{st}{1-s}\right)^k \\ &= n!m^{\underline n} [s^n] \exp\left(\frac 12\left(-\ln(1-s)-s\right)\right) \sum\limits_{k\ge 0} \binom{m-n}k \left(\frac 12 \frac s{1-s}\right)^k \\ &= n!m^{\underline n} [s^n] \exp\left(\frac 12\left(-\ln(1-s)-s\right)\right) \left(1+\frac 12 \frac s{1-s}\right)^{m-n} \\ &= n!m^{\underline n} [s^n] \frac1{ \sqrt{1-s} } {\rm e}^{-s/2} \left(\frac{2-s}{2-2s}\right)^{m-n} \end{aligned}
而其三者均微分有限,故其乘积也微分有限,借助计算机便可得到递推式 f_n = \frac1{2n}\left((m-2n-3) f_{n-1} + (3-n) f_{n-2} - \frac 12 f_{n-3}\right)
代码:
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